7 LÍMITES DE UNA FUNCIÓN

 4 de FEBRERO 

Límites en el infinito. Asíntotas verticales y horizontales. Continuidad en un punto.

INDETERMINACIONES

 

Para calcular el límite de una función complicada suelen aplicarse las propiedades generales de los límites. Sin embargo, en ocasiones no es posible recurrir simplemente a tales propiedades, por cuanto aparecen indeterminaciones que es preciso resolver. Se dice que hay una indeterminación cuando el límite de la función no se obtiene directamente de los límites de las funciones que la componen.

Las más corrientes son:

  • Infinito entre infinito (¥/¥): para resolverla, si se trata de funciones polinómicas, se procede a dividir el numerador y el denominador por el término de mayor grado; cuando las funciones presentan radicales, se multiplican el denominador y el numerador por el conjugado de la expresión que contiene al radical.
  • Infinito menos infinito (¥ - ¥): si se trata de una diferencia de funciones, se realiza la operación de manera que se obtenga una expresión de cociente de una función por otra y se calcula el límite. Cuando aparecen radicales, se multiplica y se divide por la expresión conjugada de la que contiene al radical.
  • Cero dividido por cero (0/0): si se trata de funciones polinómicas, se factorizan el numerador y el denominador y se simplifican los binomios iguales resultantes; en funciones con radicales, se multiplican el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que contiene al radical.
  • Cero por infinito (0 × ¥): si f(x) ® 0, y g(x) ® ¥, la expresión f(x) × g (x) se puede sustituir por f(x)/(1/g(x)), que es del tipo 0/0.
  • Uno elevado a infinito (+¥) e infinito elevado a cero (¥0): se sustituye por el número e.

 

 

Hoja de trabajo para la turoría

   

  EJEMPLOS:

     
Ejemplos con solución  
Ejemplos con solución  
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Ejercicios
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ASÍNTOTAS VERTICALES Y HORIZONTALES

Si una función f(x) crece indefinidamente cuando el valor de la variable x tiende a a, se dice que su límite es infinito (+¥, si el crecimiento es en sentido positivo, y -¥, si lo es en sentido negativo). Análogamente, también es posible definir límites de una función cuando el valor de x tiende a +¥ o a -¥.

Entonces, se dice que una función f (x) tiene por asíntota vertical la recta cuya ecuación es x = a, cuando al menos existe uno de los límites laterales de la función en el punto a y dicho límite es +¥ o -¥.

De igual forma, la función f (x) tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y == b, cuando existe al menos uno de los límites de la función en el caso de que x tienda a +¥ o -¥ y dicho límite sea b.

Hoja de trabajo para la tutoría

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 Ejemplos con solución  
     

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CONTINUIDAD EN UN PUNTO

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